Descent sets for oscillating tableaux

The descent set of an oscillating (or up-down) tableau is introduced. This descent set plays the same role in the representation theory of the symplectic groups as the descent set of a standard tableau plays in the representation theory of the general linear groups. In particular, we show that the descent set is preserved by Sundaram’s correspondence. This gives a direct combinatorial interpretation of the branching rules for the defining representations of the symplectic groups; equivalently, for the Frobenius character of the action of a symmetric group on an isotypic subspace in a tensor power of the defining representation of a symplectic group. Résumé. Dans cet article, nous définissons la notion d’ensemble de descentes pour un tableau oscillant. Ces descentes sont analogues aux descentes d’un tableau standard dans la théorie des représentations des groupes généraux linéaires. Nous montrons que la correspondance de Sundaram préserve cet ensemble et nous donnons une interprétation combinatoire directe des règles de branchement pour la représentation des groupes symplectiques. Enfin, nous décrivons combinatoirement les caractères de Frobenius associés à l’action du groupe symétrique sur les composantes isotypiques du produit tensoriel des représentations d’un groupe symplectique.